📈Borsa Fiyatlarını Diferansiyel Denklemlerle Tahmin Etmek: Geometrik Brownian Hareketi (GBH)

Price:


Bu yazıda, borsa fiyatlarının matematiksel olarak nasıl modellenebileceği ele alınmakta ve bu amaçla kullanılan temel yöntemlerden biri olan Geometrik Brownian Hareketi (GBH) detaylandırılmaktadır.

Finansal piyasalarda hisse senedi fiyatlarının gelecekte nasıl değişeceğini tahmin etmek, yatırımcılar için oldukça önemlidir. Bu değişimlerin matematiksel bir temele dayanarak modellenmesi mümkündür. Bu yazıda, borsa fiyatlarını diferansiyel denklem kullanarak simüle eden en temel modellerden biri olan Geometrik Brownian Hareketi (GBH) ele alınmaktadır.

📌 Borsa Grafiklerini Matematiksel Denklemle Açıklamak

Borsa grafiklerini sadece fiyat eğrisi olarak görmek yerine, onları bir diferansiyel denklem ile ifade etmek mümkündür. Bu denklem, fiyatların zamanla nasıl değiştiğini ve bu değişimin hem istikrarlı hem de rastgele yönlerini içerir.

İşte tam bu noktada devreye stokastik diferansiyel denklemler (SDE) girer..

🔎 Neden Stokastik Diferansiyel Denklem (SDE)?

Finansal piyasalarda fiyatlar, yalnızca deterministik (kesin) bir eğilimle değişmez; aynı zamanda anlık haberler, piyasa psikolojisi, jeopolitik gelişmeler gibi rastgele faktörlerin etkisi altındadır. Bu nedenle, sıradan diferansiyel denklemler (örneğin: sabit hızla artan bir fiyat modeli) bu sistemleri açıklamada yetersiz kalır.

Bu denklemler, rastgeleliğin matematiksel temsili olan Brownian hareketi ile desteklenir. Geometrik Brownian Hareketi (GBH), bu tür denklemlerin en basit ve en çok kullanılan örneklerinden biridir. Hem sistemin ortalama yönünü (drift) hem de belirsizliğini (volatilite) aynı anda hesaba katar.

Kullandığımız model şudur:

 

Bu formülün anlamı şudur:

  • St​ : Zaman ttt'deki hisse fiyatı
  • μ : Ortalama getiri oranı
  • σ: Volatilite (oynaklık oranı)
  • dWt: Rastgele değişimi ifade eden Brownian hareketi

Bu model, fiyatların bir trend etrafında rastgele şekilde dalgalandığını kabul eder

                                                                                                                                          

⚙️ Simülasyon Nasıl Yapıldı?

Python programlama dili ile aşağıdaki adımları izleyerek bir yıl boyunca (252 işlem günü) hisse senedi fiyatı simüle edildi:

  1. Başlangıç fiyatı olarak 100 TL kabul edildi.
  2. Ortalama getiri oranı %5, volatilite ise %20 olarak alındı.
  3. Her gün için rastgele bir fiyat değişimi hesaplandı.
  4. Bu değişimler üst üste eklenerek fiyat serisi oluşturuldu.
  5. Sonuçlar bir grafikle görselleştirildi.

 📊 Simülasyon Sonucu: Hisse Fiyatı Grafiği

Aşağıda, bir yıl boyunca simüle edilmiş hisse senedi fiyatının günlük değişimini gösteren grafik yer alıyor:

📷 Grafik Görseli:

 

  • “Simülasyon verisi 1 yıl boyunca günlük 252 işlem günü üzerinden hesaplanmıştır.”

 

Görselde, fiyatların bazı dönemlerde düşüş, bazı dönemlerde ise toparlanma gösterdiği görülmektedir. Bu, modelin rastgeleliği ve istatistiksel yapıyı nasıl yansıttığını güzel bir şekilde gösterir.

📈 Bu Model Ne İşe Yarar?

Geometrik Brownian Hareketi (GBH) gibi diferansiyel denklemlere dayalı stokastik modeller, yalnızca teorik akademik çalışmalar için değil, gerçek finans dünyasında birçok alanda kullanılmaktadır. Bu bölümde, modelin hangi alanlarda nasıl kullanıldığını detaylandırıyoruz:

 

 

✅ 1. Risk Analizi ve Senaryo Simülasyonu

Yatırım yaparken en büyük belirsizlik, gelecekte fiyatların ne olacağıdır. GBH modeli, belirli parametrelere (örneğin; ortalama getiri ve volatilite) göre olası fiyat yollarını simüle ederek farklı senaryolar üretmeyi mümkün kılar. Bu senaryolar:

  • En kötü ihtimal (worst case)
  • Ortalama senaryo
  • En iyi ihtimal (best case)

gibi kategorilere ayrılarak, yatırımcının risk iştahına göre karar vermesine yardımcı olur.

✅ 2. Opsiyon ve Türev Ürünlerin Fiyatlanması

GBH modeli, finansal türev ürünlerin (özellikle opsiyonların) fiyatlamasında temel rol oynar. Black-Scholes modeli gibi dünyaca kabul gören opsiyon fiyatlama yöntemlerinin altyapısı, doğrudan GBH denklemine dayanır.

Bu nedenle:

  • Opsiyon sözleşmeleri,
  • Vadeli işlem sözleşmeleri (futures),
  • Swap ve diğer türev araçlar

gibi karmaşık ürünlerin değeri GBH ve benzeri diferansiyel denklemler kullanılarak hesaplanır.

✅ 3. Algoritmik Alım-Satım Stratejilerinin Testi

Yatırım firmaları ve bireysel yatırımcılar, al-sat stratejilerini gerçek piyasaya uygulamadan önce geçmiş veriyle veya simüle edilmiş verilerle test eder. GBH modeliyle üretilmiş sahte fiyat serileri, algoritmaların:

  • Kar oranı: Uygulanan stratejinin ortalama kar getiri yüzdesi
  • Maksimum zarar: En kötü senaryoda alınan en büyük kayıp
  • Stratejik tepki hızı: Ani fiyat değişimlerine algoritmanın verdiği yanıt süresi

gibi metrikler açısından sınanmasını sağlar.

Bu test sürecine “backtesting” denir.

✅ 4. Finans Eğitimi ve Teorik Modelleme

GBH, finansal matematik eğitiminde başlangıç düzeyi stokastik modellerden biridir. Üniversitelerde ekonomi, finans mühendisliği, uygulamalı matematik ve aktüerya bölümlerinde bu model kullanılarak öğrencilere:

  • Süreç modelleme,
  • Rastgele değişkenlerle çalışma,
  • Simülasyon yapma

gibi temel beceriler kazandırılır. Öğrenciler hem teorik kavramları öğrenir hem de yazılım becerilerini geliştirir (örneğin Python veya MATLAB ile).

✅ 5. Yatırım Kararlarını Rasyonelleştirme

Finansal kararlar çoğu zaman duygusal faktörlerden etkilenir. Ancak bir fiyatın geçmiş veriye dayanarak nasıl hareket edebileceğini matematiksel olarak simüle etmek, karar vericilere sayısal ve mantıksal bir temel sunar.

Bu da:

  • Stratejik planlamayı güçlendirir,
  • Panik satışlarının önüne geçer,
  • Belirsizlik altında daha sağlıklı pozisyon alınmasını sağlar.

📌 Sonuç Olarak


Geometrik Brownian Hareketi gibi stokastik modeller, yatırım dünyasının matematikle buluştuğu noktadır. Bu yaklaşım sayesinde, karmaşık görünen piyasa hareketlerini daha anlamlı bir çerçeveye oturtmak mümkündür. Yazıda anlatılanlar, hem öğrenmeye yeni başlayanlar hem de modelleme pratiği yapmak isteyenler için temel bir rehber olabilir.

 

📚 Kaynakça

  1. Hull, J. C. (2015). Options, Futures, and Other Derivatives. Pearson Education.
  2. Shreve, S. E. (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer.
  3. Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability Models. Academic Press.
  4. McDonald, R. L. (2013). Derivatives Markets. Pearson.
  5. Python Software Foundation. NumPy & Matplotlib Kütüphaneleri. numpy.org | matplotlib.org

 

⚠️ Önemli Not

Bu içerik yalnızca bilgilendirme ve eğitim amaçlıdır. Hiçbir şekilde yatırım tavsiyesi niteliği taşımaz. Finansal kararlar almadan önce kendi araştırmanızı yapmalı veya bir uzmanla görüşmelisiniz.